1/La somme des chiffres de la colonne des milliers (avec ou sans retenue) donne un nombre inférieur à 10 puis qu'il n'y a pas de chiffre en colonne des dizaines de milliers. Soit 1-2-3-4 ces 4
chiffres. Leur somme est 10, ce qui est donc impossible. Il faut donc que l'on ne dispose que de 3 chiffres différents, l'un d'entre eux, étant doublé; cette colonne est donc celle de l'erreur.
2/ Identifions ce que peuvent donc être ces ensembles de 4 chiffres (dont l'un est donc doublé) et dont la somme est inférieure à 10:
1+2+3+3, soit 9 (et alors X serait égal à 9, à condition qu'il n'y ait pas de retenue),
1+2+2+3 soit 8 (et alors X vaudrait 8 ou 9 s'il y a une retenue de 1)
1+2+2+4 soit 9 ( avec X égale à 9 sans retenue)
1+1+2+3 soit 7 (et alors X vaudrait 7 ou 8 ou 9 suivant les retenues)
1+1+2+4 soit 8 (et alors X vaudrait 8 ou 9)
1+1+2+5 soit 9 (avec X=9 sans retenue)
1+1+3+4 soit 9 (avec X=9 sans retenue)
Ainsi X vaut-il 7 ou 8 ou 9.
3/Analysons la colonne des unités. X est le chiffre des unités d'un nombre égal à la somme 2 fois X et de 2 fois D, donc d'un nombre pair. Vu que X ne peut être égal qu'à 7, 8 ou 9, X vaut 8.
Les seules possibilités ouvertes au point 2 sont donc les ensembles (1,2,2,3), (1,1,2,3 s'il y a une retenue de 1) et (1,1,2,4).
4/Revenons à notre colonne des unités. Connaissant la valeur de X nous obtenons 2D+16= 18 ou 28 (car, D ne pouvant pas être supérieur à 9, la somme 2X+2D ne peut être supérieur à 34). Seule la somme
18 peut être retenue car l'autre conduit à une valeur de D qui ne serait pas celle d'un entier naturel. Donc D vaut 1 (et la somme de la colonne des unités est égale 18 avec une retenue de 1) ou vaut
6 (et cette même somme est égale à 28 avec une retenue de 2).
5/ La somme des chiffres de la colonne des dizaines est paire car égale à un nombre se terminant par X ( qui vaut 8). Cette somme étant égale à 4c+retenue , la retenue doit être paire, soit 2 et donc
D vaut 6 (cf. conclusion du point 4). Cette affirmation conduit à dire que D est la lettre erronée de la colonne des milliers (car 6 ne peut pas faire partie des ensembles retenus) et, par conséquent
que nous devons garder A,B et C (l'une d'entre elles devant être doublée).
6/ Donc, en revenant à la colonne des dizaines, la somme "4C+2" doit être égale à 8, 18, 28 ou 38. La première valeur est impossible (C ne serait pas un entier), la deuxième conduit à 4, la troisième
est impossible (C ne serait pas un entier) et la dernière conduit à 9. Donc C vaut 4 ou 9.
7/ Si nous revenons à nos trois ensembles possibles pour les chiffres des milliers (point 3) et comme C est un de ces chiffres, C ne peut égal qu'à 4 et l'ensemble des quatre chiffres de la colonne
des milliers est donc (1,1,2,4). Comme la somme est égale à 8 il n'y a donc pas de retenue venant de la colonne des centaines. A contrario la valeur de C conduit à un total de 18 pour la colonne des
dizaines et donc à une retenue de 1 vers la colonne des centaines.
8/ Analysons cette colonne des centaines: 1+A+2B+E= 8 (puisqu'il n'y a pas de retenue, cf. point 7). A et B valent l'un ou l'autre 1 ou 2. Soit A=1, alors B=2 et E serait égal à 2, ce qui est
impossible puisqu'on vient de retenir l'idée que B serait égal à 2. A l'inverse si A=2 et B=1, E vaudrait 3, ce qui là est possible.
9/Conclusions:
Nous obtenons A=2, B=1, C=4, D=6, E=3 et X=8
Les quatre nombres qu'il faut additionner sont donc 2148, 1346, 1146 et 4248, leur somme valant 8888. Il fallait donc modifier le chiffre des milliers du deuxième nombre afin que DECD devienne BECD
(ou que 6346 devienne 1346)
#4
Michel Damiens(samedi, 25 avril 2020 11:21)
Une petite remarque concernant l'énoncé 6b : il faut suivre la convention selon laquelle l'écriture décimale d'un nombre ne peut pas commencer par des zéros : par exemple 0112 ne convient pas.
J'aurais dû le préciser dans l'énoncé !
#3
Michel Damiens(mardi, 21 avril 2020 12:28)
Un petit indice : calculer une valeur approchée de (1+racine(2))^n pour n=1, 2, 3, 4, 5, ... avec une machine à calculer ou un outil informatique pour observer un phénomène particulier : ces nombres
deviennent de plus en plus proches d'un entier (différent pour chaque valeur de n). Reste ensuite à justifier cette observation et à s'en servir pour répondre à la question ! Explications un peu plus
précises demain matin dans le point d'étape.
#2
Jojo(mardi, 21 avril 2020 11:24)
Racine de 2 est un nombre irrationnel et n'a donc pas de développement décimal périodique.
Le développement décimal périodique approché de racine de 2 est 1,4142857. Pour ce nombre la 200e décimale est 2 me semble-t-il. Mais avec (1 +racine de 2 )e 1000, dont la succession des décimales
est aléatoire et infinie, je ne sais pas calculer la 200e décimale.
Ces considérations sont émises sous toutes réserves.
#1
Dany(lundi, 20 avril 2020 17:37)
Autant le 1 et le 3, c'était facile, autant le 2... c'est une horreur ! j'en rêve la nuit, de cette deux-centième décimale, mais je ne sais pas comment faire pour la trouver. Ce problème est vraiment
trop dur.
Alain Villocel (samedi, 02 mai 2020 16:44)
Enoncé 6b:
1/La somme des chiffres de la colonne des milliers (avec ou sans retenue) donne un nombre inférieur à 10 puis qu'il n'y a pas de chiffre en colonne des dizaines de milliers. Soit 1-2-3-4 ces 4 chiffres. Leur somme est 10, ce qui est donc impossible. Il faut donc que l'on ne dispose que de 3 chiffres différents, l'un d'entre eux, étant doublé; cette colonne est donc celle de l'erreur.
2/ Identifions ce que peuvent donc être ces ensembles de 4 chiffres (dont l'un est donc doublé) et dont la somme est inférieure à 10:
1+2+3+3, soit 9 (et alors X serait égal à 9, à condition qu'il n'y ait pas de retenue),
1+2+2+3 soit 8 (et alors X vaudrait 8 ou 9 s'il y a une retenue de 1)
1+2+2+4 soit 9 ( avec X égale à 9 sans retenue)
1+1+2+3 soit 7 (et alors X vaudrait 7 ou 8 ou 9 suivant les retenues)
1+1+2+4 soit 8 (et alors X vaudrait 8 ou 9)
1+1+2+5 soit 9 (avec X=9 sans retenue)
1+1+3+4 soit 9 (avec X=9 sans retenue)
Ainsi X vaut-il 7 ou 8 ou 9.
3/Analysons la colonne des unités. X est le chiffre des unités d'un nombre égal à la somme 2 fois X et de 2 fois D, donc d'un nombre pair. Vu que X ne peut être égal qu'à 7, 8 ou 9, X vaut 8.
Les seules possibilités ouvertes au point 2 sont donc les ensembles (1,2,2,3), (1,1,2,3 s'il y a une retenue de 1) et (1,1,2,4).
4/Revenons à notre colonne des unités. Connaissant la valeur de X nous obtenons 2D+16= 18 ou 28 (car, D ne pouvant pas être supérieur à 9, la somme 2X+2D ne peut être supérieur à 34). Seule la somme 18 peut être retenue car l'autre conduit à une valeur de D qui ne serait pas celle d'un entier naturel. Donc D vaut 1 (et la somme de la colonne des unités est égale 18 avec une retenue de 1) ou vaut 6 (et cette même somme est égale à 28 avec une retenue de 2).
5/ La somme des chiffres de la colonne des dizaines est paire car égale à un nombre se terminant par X ( qui vaut 8). Cette somme étant égale à 4c+retenue , la retenue doit être paire, soit 2 et donc D vaut 6 (cf. conclusion du point 4). Cette affirmation conduit à dire que D est la lettre erronée de la colonne des milliers (car 6 ne peut pas faire partie des ensembles retenus) et, par conséquent que nous devons garder A,B et C (l'une d'entre elles devant être doublée).
6/ Donc, en revenant à la colonne des dizaines, la somme "4C+2" doit être égale à 8, 18, 28 ou 38. La première valeur est impossible (C ne serait pas un entier), la deuxième conduit à 4, la troisième est impossible (C ne serait pas un entier) et la dernière conduit à 9. Donc C vaut 4 ou 9.
7/ Si nous revenons à nos trois ensembles possibles pour les chiffres des milliers (point 3) et comme C est un de ces chiffres, C ne peut égal qu'à 4 et l'ensemble des quatre chiffres de la colonne des milliers est donc (1,1,2,4). Comme la somme est égale à 8 il n'y a donc pas de retenue venant de la colonne des centaines. A contrario la valeur de C conduit à un total de 18 pour la colonne des dizaines et donc à une retenue de 1 vers la colonne des centaines.
8/ Analysons cette colonne des centaines: 1+A+2B+E= 8 (puisqu'il n'y a pas de retenue, cf. point 7). A et B valent l'un ou l'autre 1 ou 2. Soit A=1, alors B=2 et E serait égal à 2, ce qui est impossible puisqu'on vient de retenir l'idée que B serait égal à 2. A l'inverse si A=2 et B=1, E vaudrait 3, ce qui là est possible.
9/Conclusions:
Nous obtenons A=2, B=1, C=4, D=6, E=3 et X=8
Les quatre nombres qu'il faut additionner sont donc 2148, 1346, 1146 et 4248, leur somme valant 8888. Il fallait donc modifier le chiffre des milliers du deuxième nombre afin que DECD devienne BECD (ou que 6346 devienne 1346)
Michel Damiens (samedi, 25 avril 2020 11:21)
Une petite remarque concernant l'énoncé 6b : il faut suivre la convention selon laquelle l'écriture décimale d'un nombre ne peut pas commencer par des zéros : par exemple 0112 ne convient pas.
J'aurais dû le préciser dans l'énoncé !
Michel Damiens (mardi, 21 avril 2020 12:28)
Un petit indice : calculer une valeur approchée de (1+racine(2))^n pour n=1, 2, 3, 4, 5, ... avec une machine à calculer ou un outil informatique pour observer un phénomène particulier : ces nombres deviennent de plus en plus proches d'un entier (différent pour chaque valeur de n). Reste ensuite à justifier cette observation et à s'en servir pour répondre à la question ! Explications un peu plus précises demain matin dans le point d'étape.
Jojo (mardi, 21 avril 2020 11:24)
Racine de 2 est un nombre irrationnel et n'a donc pas de développement décimal périodique.
Le développement décimal périodique approché de racine de 2 est 1,4142857. Pour ce nombre la 200e décimale est 2 me semble-t-il. Mais avec (1 +racine de 2 )e 1000, dont la succession des décimales est aléatoire et infinie, je ne sais pas calculer la 200e décimale.
Ces considérations sont émises sous toutes réserves.
Dany (lundi, 20 avril 2020 17:37)
Autant le 1 et le 3, c'était facile, autant le 2... c'est une horreur ! j'en rêve la nuit, de cette deux-centième décimale, mais je ne sais pas comment faire pour la trouver. Ce problème est vraiment trop dur.