Réponse à l'énigme 1:
Si on ne considère que les nombres entiers je propose l'ensemble formé de quatre fois le nombre 3, (3,3,3,3), dont la somme est bien de 12 et le produit de 81.
Réponse à l'énigme 2b:
Le nombre 2020 a 4 chiffres (soit 1+ (1*3)). Le carré de 2020 (à savoir (4* "10 puissance 6")+ quelque chose...) en a 7 (soit 1+(2*3)). Le cube de 2020 en aura 10 (soit 1+ (3*3)). Par récurrence la
puissance 2020 de 2020 en aura donc 6061 (à savoir 3 fois 2020 plus 1)... ou peut-être quelques-uns de plus (vu que je ne tiens pas compte des 2 dizaines du nombre 2020) mais ceci est sans importance
. Ce nombre de chiffres a lui même 4 chiffres. Et donc le nombre de chiffres de "4" , lui-même nombre de chiffres de "6061", lui même nombre de chiffres de "N" est donc UN.
Réponse à la question subsidiaire de l'énigme 2b:
En raisonnant de façon inverse par rapport à l'énigme principale 2b, pour que le résultat soit 2, il faut que le "nombre de chiffres" précédent soit compris entre 10 et 99, soit par exemple "10". Et,
étape précédente, il faut donc que le nombre dont il est le nombre de chiffres soit compris entre 1 000 000 000 et 9 999 999 999, supposons donc la borne inférieure de cet espace, soit "1 000 000
000". Enfin, un nombre qui a un nombre de chiffres égal à "un milliard", soit "10 puissance 9", peut être (voir le raisonnement de l'énigme principale) de la forme: 10 puissance ((10 puissance
9)-1)".
Il se pourrait même que ce soit le plus petit entier répondant à l'objectif que le nombre de chiffres du nombre de chiffres de son nombre de chiffres soit égal à DEUX...
Wwwah!!! Peut-être m'y suis-je perdu dans tous ces nombres de chiffres, mais tant pis j'appuie sur "envoyer"!!!
#13
HAILLET Jean(lundi, 30 mars 2020 15:19)
Réponse à l'énoncé 2a (les 64 pions)
Etant donné que les 64 pions sont bifaces/bicolores (noir, blanc), je puis faire, yeux bandés, toutes les manipulations que je veux et faire 2 tas inégaux en nombre de pions, chaque tas aura
nécessairement le même nombre de faces noires et de faces blanches.
La solution se cachait dans l'énoncé-piège "64 pions étant tous bifaces/bicolores".
#12
Jean-Luc MAURIET(vendredi, 27 mars 2020 16:08)
Bon déjà j'ai compris que pour 12, les multiples de 3 étaient préférables à ceux de 2, etc.
Pour la suite, je n'ai pas tou lu et décidément, pour que je comprenne, me faut un dessin ! ;)
#11
Joel Ichas(vendredi, 27 mars 2020 10:28)
Petit rectificatif
Si on représente les résultats sous forme de fraction, les solutions deviennent :
pour S = 13
S = 13/5 * 5
P = (13/5)**5 = 371293/3125 soit 118.81
pour S = 20
S = 20/7 * 7
P = (20/7)**7 = 128/823543 * 10**7 soit 1554.26
#10
Diane Wagner(jeudi, 26 mars 2020 17:13)
Bonjour ,
soient x et y les 2 nombres en question
x+y=12
soit f(x) la fonction produit xy f(x)=xy
y =12-x
f(x)=x(12-x) = -x2 +12x
On sait que la fonction un extremum quand sa dérivée est nulle.
f'(x)=-2x+12 =0
Donc x=6
Comme la dérivée est positive pour x<6 , la fonction est croissante , donc l 'extremum est un maximum.
Si on généralise x+y=a
f(x)=x(a-x)=-x2 +ax
f'(x) = -2x+a =0 pour x=a/2
pour x<a/2 f'(x) est positive , donc f(x) croissante , donc on a un maximum.
J ' ai juste un doute et je n 'ose revenir à l'énoncé par peur de tout perdre.
x et y sont ils des nombres entiers , ou peuvent ils être des fractions.?
Si x et y sont des entiers , a doit être pair pour qu 'il y ait une solution , sinon il y a toujours une solution dans l 'ensemble des rééls
merci pour nous donner à reflechir
Diane
#9
Michel Damiens(jeudi, 26 mars 2020 16:55)
Je vois que vous cogitez ferme, c'est super, bravo !
Pour une petite aide reportez vous au "point d'étape" (lien en bas de l'énoncé) qui vous indique que :
- on n'est pas obligé de se limiter à 2 nombres
- on n'est pas obligé de se limiter à des nombres entiers
N'oubliez pas : "les mathématiques c'est la liberté" [Georg Cantor}
et à bientôt (en fin de semaine) pour les réponses, les explications et ... l'énigme suivante.
Michel
#8
Joel Ichas(jeudi, 26 mars 2020 15:50)
Les réponses déjà données montrent clairement que les nombres qui composent la somme doivent être sensiblement égaux pour obtenir un produit le plus grand possible.
On obtient donc :
S = a + a + ... + a + a (n fois a) => S = n*a => a = S/n
P = a**n => P = (S/n)**n
On peut maintenant calculer n en résolvant l'équation f''(n) = 0...
ou plus simplement utiliser un tableur qui donne les résultats suivants :
S = 12 : n = 4 et a = 3
S = 3 + 3 + 3 + 3 et P = 81
S = 13 : n = 5 et a = 2.6
S = 2.6 + 2.6 + 2.6 + 2.6 + 2.6 et P = 118.81
S = 20 : n = 7 et a est peu différent de 2.86
S = 2.86 + 2.86 + 2.86 + 2.86 + 2.86 + 2.86 + 2.84 et P = 1554.23
#7
NicoleHaillet(jeudi, 26 mars 2020 10:03)
Petite erreur de retranscription:
3x3x3x3x3x3x2=1458 et non 1158
#6
Nicole Haillet jean.haillet@wanadoo.fr(mercredi, 25 mars 2020 18:36)
Merci Michel de nous proposer ces exercices. Voici mes réponses:
Pour 12: 3+3+3+3 et 3x3x3x3=81
Pour 13:3+3+3+4 et 3x3x3x4=108
Pour 20: 3+3+3+3+3+3+2 et 3x3x3x3x3x3x2= 1158
Il semblerait que l'on doit décomposer le nombre en un multiple de 3 + un nombre autre que 1. En fait il ne faut pas qu'il y ait des 1 dans la somme.
Bon confinement et à très bientôt.
#5
michel.guillot@hotmail.fr(mardi, 24 mars 2020 00:54)
Bonsoir
Plus on a de chiffres à multiplier plus on aura un produit P élevé.
Le plus petit nombre (autre que 1 ) est 2. On essaiera donc d'avoir un maximum de 2 dans les sommes S, idéalement S/2.
Ainsi pour S=12, 6 chiffres 2, soit P=64
Pour S=13, 5 chiffres 2 et 1 chiffre 3, soit P=96
Pour S=20, 10 chiffres 2 soit P=1024
Michel
#4
ebuffier@free.fr(lundi, 23 mars 2020 22:53)
Bonsoir,
Pour 12, je n'ai additionné que des 2 et j'ai obtenu 64.
Pour 13, j'ai pris 5 deux et un trois j'ai obtenu 96
Pour 20, j'ai pris 10 deux et j'ai obtenu 1024.
j'ai pensé que des petits nombres étaient mieux que des gros car en les multipliant, ça fait plus qu'en les additionnant.
par exemple 5+2 ça fait moins que 5x2 (sauf pour 1)
Merci pour ce petit exercice et bonne soirée.
Emmanuèle Gohin
#3
jose.refouvelet@wanadoo.fr(lundi, 23 mars 2020 21:55)
Bonjour Michel
Merci de t'occuper des confinés
Solution :
x+y=S donc y= S-x
xy=P ou P= x(S-x)=Sx-x2 (je ne sais pas comment mettre un exposant dans ce format !)
P est max pour dp/dx=0
donc S-2x=0
x=S/2=y=S/2
0u x=S-1/2 , y=S/2+1/2 si S est impair
S =12, x=y=6 (ou x=5 et y=7 si x et y doivent être différents
S=13, x=6 et y=7
S=20, x=y=10 Q
José
#2
Alexis Makhnoff(lundi, 23 mars 2020 20:31)
nous avons :
a+b=x et nous cherchons le max de a*b= a*(x-a)=a*x - a*a, soit l'annulation de la dérivée a-x/2=0 donc a=x/2
Pour X=12 le maximum sera obtenu pour a=6 et b=6
Pour x = 13 ce sera 6 et 7
Pour X = 20 , 10 et 10
Alain VILLOCEL (mercredi, 01 avril 2020 16:50)
Réponse à l'énigme 1:
Si on ne considère que les nombres entiers je propose l'ensemble formé de quatre fois le nombre 3, (3,3,3,3), dont la somme est bien de 12 et le produit de 81.
Réponse à l'énigme 2b:
Le nombre 2020 a 4 chiffres (soit 1+ (1*3)). Le carré de 2020 (à savoir (4* "10 puissance 6")+ quelque chose...) en a 7 (soit 1+(2*3)). Le cube de 2020 en aura 10 (soit 1+ (3*3)). Par récurrence la puissance 2020 de 2020 en aura donc 6061 (à savoir 3 fois 2020 plus 1)... ou peut-être quelques-uns de plus (vu que je ne tiens pas compte des 2 dizaines du nombre 2020) mais ceci est sans importance . Ce nombre de chiffres a lui même 4 chiffres. Et donc le nombre de chiffres de "4" , lui-même nombre de chiffres de "6061", lui même nombre de chiffres de "N" est donc UN.
Réponse à la question subsidiaire de l'énigme 2b:
En raisonnant de façon inverse par rapport à l'énigme principale 2b, pour que le résultat soit 2, il faut que le "nombre de chiffres" précédent soit compris entre 10 et 99, soit par exemple "10". Et, étape précédente, il faut donc que le nombre dont il est le nombre de chiffres soit compris entre 1 000 000 000 et 9 999 999 999, supposons donc la borne inférieure de cet espace, soit "1 000 000 000". Enfin, un nombre qui a un nombre de chiffres égal à "un milliard", soit "10 puissance 9", peut être (voir le raisonnement de l'énigme principale) de la forme: 10 puissance ((10 puissance 9)-1)".
Il se pourrait même que ce soit le plus petit entier répondant à l'objectif que le nombre de chiffres du nombre de chiffres de son nombre de chiffres soit égal à DEUX...
Wwwah!!! Peut-être m'y suis-je perdu dans tous ces nombres de chiffres, mais tant pis j'appuie sur "envoyer"!!!
HAILLET Jean (lundi, 30 mars 2020 15:19)
Réponse à l'énoncé 2a (les 64 pions)
Etant donné que les 64 pions sont bifaces/bicolores (noir, blanc), je puis faire, yeux bandés, toutes les manipulations que je veux et faire 2 tas inégaux en nombre de pions, chaque tas aura nécessairement le même nombre de faces noires et de faces blanches.
La solution se cachait dans l'énoncé-piège "64 pions étant tous bifaces/bicolores".
Jean-Luc MAURIET (vendredi, 27 mars 2020 16:08)
Bon déjà j'ai compris que pour 12, les multiples de 3 étaient préférables à ceux de 2, etc.
Pour la suite, je n'ai pas tou lu et décidément, pour que je comprenne, me faut un dessin ! ;)
Joel Ichas (vendredi, 27 mars 2020 10:28)
Petit rectificatif
Si on représente les résultats sous forme de fraction, les solutions deviennent :
pour S = 13
S = 13/5 * 5
P = (13/5)**5 = 371293/3125 soit 118.81
pour S = 20
S = 20/7 * 7
P = (20/7)**7 = 128/823543 * 10**7 soit 1554.26
Diane Wagner (jeudi, 26 mars 2020 17:13)
Bonjour ,
soient x et y les 2 nombres en question
x+y=12
soit f(x) la fonction produit xy f(x)=xy
y =12-x
f(x)=x(12-x) = -x2 +12x
On sait que la fonction un extremum quand sa dérivée est nulle.
f'(x)=-2x+12 =0
Donc x=6
Comme la dérivée est positive pour x<6 , la fonction est croissante , donc l 'extremum est un maximum.
Si on généralise x+y=a
f(x)=x(a-x)=-x2 +ax
f'(x) = -2x+a =0 pour x=a/2
pour x<a/2 f'(x) est positive , donc f(x) croissante , donc on a un maximum.
J ' ai juste un doute et je n 'ose revenir à l'énoncé par peur de tout perdre.
x et y sont ils des nombres entiers , ou peuvent ils être des fractions.?
Si x et y sont des entiers , a doit être pair pour qu 'il y ait une solution , sinon il y a toujours une solution dans l 'ensemble des rééls
merci pour nous donner à reflechir
Diane
Michel Damiens (jeudi, 26 mars 2020 16:55)
Je vois que vous cogitez ferme, c'est super, bravo !
Pour une petite aide reportez vous au "point d'étape" (lien en bas de l'énoncé) qui vous indique que :
- on n'est pas obligé de se limiter à 2 nombres
- on n'est pas obligé de se limiter à des nombres entiers
N'oubliez pas : "les mathématiques c'est la liberté" [Georg Cantor}
et à bientôt (en fin de semaine) pour les réponses, les explications et ... l'énigme suivante.
Michel
Joel Ichas (jeudi, 26 mars 2020 15:50)
Les réponses déjà données montrent clairement que les nombres qui composent la somme doivent être sensiblement égaux pour obtenir un produit le plus grand possible.
On obtient donc :
S = a + a + ... + a + a (n fois a) => S = n*a => a = S/n
P = a**n => P = (S/n)**n
On peut maintenant calculer n en résolvant l'équation f''(n) = 0...
ou plus simplement utiliser un tableur qui donne les résultats suivants :
S = 12 : n = 4 et a = 3
S = 3 + 3 + 3 + 3 et P = 81
S = 13 : n = 5 et a = 2.6
S = 2.6 + 2.6 + 2.6 + 2.6 + 2.6 et P = 118.81
S = 20 : n = 7 et a est peu différent de 2.86
S = 2.86 + 2.86 + 2.86 + 2.86 + 2.86 + 2.86 + 2.84 et P = 1554.23
NicoleHaillet (jeudi, 26 mars 2020 10:03)
Petite erreur de retranscription:
3x3x3x3x3x3x2=1458 et non 1158
Nicole Haillet jean.haillet@wanadoo.fr (mercredi, 25 mars 2020 18:36)
Merci Michel de nous proposer ces exercices. Voici mes réponses:
Pour 12: 3+3+3+3 et 3x3x3x3=81
Pour 13:3+3+3+4 et 3x3x3x4=108
Pour 20: 3+3+3+3+3+3+2 et 3x3x3x3x3x3x2= 1158
Il semblerait que l'on doit décomposer le nombre en un multiple de 3 + un nombre autre que 1. En fait il ne faut pas qu'il y ait des 1 dans la somme.
Bon confinement et à très bientôt.
michel.guillot@hotmail.fr (mardi, 24 mars 2020 00:54)
Bonsoir
Plus on a de chiffres à multiplier plus on aura un produit P élevé.
Le plus petit nombre (autre que 1 ) est 2. On essaiera donc d'avoir un maximum de 2 dans les sommes S, idéalement S/2.
Ainsi pour S=12, 6 chiffres 2, soit P=64
Pour S=13, 5 chiffres 2 et 1 chiffre 3, soit P=96
Pour S=20, 10 chiffres 2 soit P=1024
Michel
ebuffier@free.fr (lundi, 23 mars 2020 22:53)
Bonsoir,
Pour 12, je n'ai additionné que des 2 et j'ai obtenu 64.
Pour 13, j'ai pris 5 deux et un trois j'ai obtenu 96
Pour 20, j'ai pris 10 deux et j'ai obtenu 1024.
j'ai pensé que des petits nombres étaient mieux que des gros car en les multipliant, ça fait plus qu'en les additionnant.
par exemple 5+2 ça fait moins que 5x2 (sauf pour 1)
Merci pour ce petit exercice et bonne soirée.
Emmanuèle Gohin
jose.refouvelet@wanadoo.fr (lundi, 23 mars 2020 21:55)
Bonjour Michel
Merci de t'occuper des confinés
Solution :
x+y=S donc y= S-x
xy=P ou P= x(S-x)=Sx-x2 (je ne sais pas comment mettre un exposant dans ce format !)
P est max pour dp/dx=0
donc S-2x=0
x=S/2=y=S/2
0u x=S-1/2 , y=S/2+1/2 si S est impair
S =12, x=y=6 (ou x=5 et y=7 si x et y doivent être différents
S=13, x=6 et y=7
S=20, x=y=10 Q
José
Alexis Makhnoff (lundi, 23 mars 2020 20:31)
nous avons :
a+b=x et nous cherchons le max de a*b= a*(x-a)=a*x - a*a, soit l'annulation de la dérivée a-x/2=0 donc a=x/2
Pour X=12 le maximum sera obtenu pour a=6 et b=6
Pour x = 13 ce sera 6 et 7
Pour X = 20 , 10 et 10
Jojo (lundi, 23 mars 2020 19:43)
3x4x5=60
3x4x6=72
3x4x6x7=504