1 - On prend 10 jetons parmi les 64 et on les place dans le tas A.
2 - On prend ensuite les 54 jetons restants, on les retourne tous et on les place dans le tas B.
A et B ont le même nombre de jetons côté noir. En effet :

• s’il y a 10 jetons noirs dans A, alors A contient 0 blanc, donc B contient 10 blancs et 44 noirs, ce qui, une fois retournés, fait 10 noirs et 44 blancs ;
• s’il y a 9 jetons noirs dans A, alors A contient 1 blanc, donc B contient 9 blancs et 45 noirs, ce qui, une fois retournés, fait 9 noirs et 45 blancs ;
• s’il y a 8 jetons noirs dans A, alors A contient 2 blancs, donc B contient 8 blancs et 46 noirs, ce qui, une fois retournés, fait 8 noirs et 46 blancs ; etc.

Cas général : s’il y a n jetons noirs dans A (0 ≤ n ≤ 10), alors A contient 10 - n jetons blancs, et donc B contient d’abord 10 - (10 - n) jetons blancs, c’est-à-dire n jetons blancs qui, une fois retournés, donnent n jetons noirs : A et B ont donc chacun n jetons noirs.
Généralisation : si au départ il y a X noirs et Y blancs
dans le tas A : mettons n noirs et b blancs
dans le tas B : il y a donc X-n noirs et Y-b blancs puis, après les retournements, X-n blancs et Y-b noirs
il faut que n = Y - b donc n + b = Y donc il faut mettre Y jetons dans A

(Je note ^ pour l'exposant et <= pour inférieur ou égal)

Pour trouver le nombre de chiffres d'un entier X il faut l'encadrer par deux puissances consécutives de 10 : le nombre de chiffres d'un nombre X est l'entier n tel que 10^(n-1) <= X < 10ⁿ

par exemple 376 s'écrit avec trois chiffres parce que 10² <= 376 < 10³
1) Prenons X = 2020²⁰²⁰ ; on a tout d'abord 1000 <= 2020 < 10000 c'est à dire 10³ <= 2020 < 10⁴ (donc 2020 a quatre chiffres !)
On en déduit que (10³)²⁰²⁰ <= X < (10⁴)²⁰²⁰ ce qui donne 10³⁰⁶⁰ <= X < 10⁸⁰⁸⁰ en vertu de la formule (a^b)^c=a^(bxc)
Donc le nombre de chiffres de X (notons le X') est un entier compris entre 6060 et 8080.
Donc X' s'écrit avec 4 chiffres autrement dit : le nombre de chiffres de X' est X'' = 4.
Finalement, 4 s'écrit avec un seul chiffre (!) : le nombre de chiffres du nombre de chiffres du nombre de chiffres de X est X''' = 1

Si on veut obtenir 2 comme résultat pour la question précédente on voit qu'il va falloir que X soit beaucoup plus grand.

2) Prenons le raisonnement précédent "à l'envers".
On veut que le nombre de chiffres du nombre de chiffres du nombre de chiffres de X soit X''' = 2.
Alors on peut prendre X'' = 10 qui s'écrit bien avec X''' = 2 chiffres.
Donc on peut prendre X' = 1000000000 = 10⁹ qui s'écrit bien avec X'' = 10 chiffres.
Il faut donc que 10^999999999 <= X < 10^1000000000
Ce qui donne en même temps la plus petite valeur possible X = 10^999999999 (un suivi de neuf cent quatre vingt dix neuf millions neuf cent quatre vingt dix neuf mille neuf cent quatre vingt dix neuf zéros)

Autre méthode : pour celles et ceux qui savent utiliser les logarithmes décimaux
Le nombre de chiffres d'un entier n est égal à 1 plus la partie entière de log n, ce qu'on notera E(log n) + 1
Partons de X''' = 2
Alors 2 = E(log X'') + 1 donc E(log X'') = 1 ce qui donne log X'' >= 1 soit X'' >= 10
De même E(log X') + 1 >= 10 donne E(log X') >= 9 donc log(X') >= 9 soit X' >= 10⁹
Enfin E(log X) + 1 >= 10⁹ donne E(log X) >= 10⁹ - 1 donc Log(X) >= 10⁹ - 1 soit X >= 10^(109-1) 
Vérification : X = 10^999999999 s'écrit avec 1000000000 chiffres
qui s'écrit avec 10 chiffres
qui s'écrit avec 2 chiffres