---------- corrigé du problème 1 ---------- (vendredi 27 mars)
D'abord bravo à toutes celles et à tous ceux qui ont participé. J'espère que cela vous aura amusé et procuré
du plaisir.
Certaines réponses ont été très détaillées et d'autres ont permis de se poser des tas de questions. Pour les prochaines énigmes je ferai quelques remarques :
- c'est bien de publier vos réponses sur les cahiers de vacances du site afin d'en faire profiter tout le monde, cela peut aider certain.e.s et peut prendre un peu la forme d'un débat scientifique ; je mettrai chaque fois un "point d'étape" comme cette semaine
- envoyez moi si vous le souhaitez une copie de votre réponse par mail (michel.damiens@gmail.com) ce qui me permet de vous donner des commentaires et une aide personnalisés
Le premier écueil est, en lisant l'énoncé de comprendre "des nombres" comme étant "deux nombres" et/ou "des
nombres différents" et/ou "des nombres entiers". Ceci constitue un des obstacles dans la recherche mathématique qui est d'attribuer un sens à priori aux objets qu'on manipule.
Cet obstacle étant levé on voit bien vite après quelques essais (et ceci est une autre caractéristique de la recherche en mathématiques : il faut faire des essais,
se tromper, recommencer, ne pas attendre la solution d'une formule toute faite) que pour obtenir le maximum avec une somme S = 12 il faut prendre quatre nombres égaux à 3, ce qui donne par
multiplication P = 81.
Si on fait des essais pour la somme S = 13, en abandonnant le tabou des nombres entiers on s'aperçoit qu'il faut 5 nombres égaux à 2,6 c'est à dire 5 nombres égaux
à 13/5 ce qui fait un produit P = (13/5) à la puissance 5 (multiplié 5 fois par lui-même) soit P = 118,81376
Ceci permet d'induire la conjecture (une conjecture en mathématiques est une affirmation à laquelle on croit fortement mais qu'on n'a pas démontrée) suivante : il
faut prendre des nombres égaux et qui soient compris entre 2 et 3.
Testons cette conjecture :
- si on divise 20 en 10 parties égales on obtient 20/10 = 2 ce qui donne un produit P = 1024
- si on divise 20 en 9 parties égales on obtient 20/9 = 2,22... ce qui donne un produit P = 1321,56...
- si on divise 20 en 8 parties égales on obtient 20/8 = 2,5 ce qui donne un produit P = 1525, 87...
- si on divise 20 en 7 parties égales on obtient 20/7 = 2,85... ce qui donne un produit P = 1554,26...
- si on divise 20 en 6 parties égales on obtient un nombre supérieur à 3
Conclusion : il faut prendre 7 nombres égaux à 20/7 et le produit
(maximum) est P = (20/7) à la puissance 7
Bien entendu on n'a pas démontré ces résultats ; comme il est difficile de rédiger ces démonstrations sur cet espace d'échange je vous propose de retrouver les
détails et des compléments sur le site http://manthano.fr/ rubrique "temps suspendu"
Pour terminer je dirai que cette énigme est en fait un cas particulier de problèmes relevant de toute une partie des mathématiques et de la physique qui s'est
développée du dix-septième siècle à nos jours, qu'on nomme en général "problème d'optimisation avec contrainte". C'est cette théorie qui permet par exemple de prouver que les boîtes de conserve
classiques (les grosses) ont toutes le même forme que vous connaissez bien : voir le détail sur la page web citée ci-dessus.
Quelques remarques sur l'énoncé 1
Ce problème fait partie des problèmes d'optimisation (maximum d'un produit) sous contrainte (la somme
est fixée)
Si on prend le cas particulier de 2 nombres ayant une somme égale à 20 on obtient le problème de la détermination du rectangle de plus grande surface parmi
tous les rectangles dont le périmètre est 40 : ce rectangle est le carré de côté 10.
Pour n = 3 nombres on cherche le parallélépipède de plus grand volume dont la somme des arêtes est fixée : on obtient un cube.
Si n > 3 on obtient des hypercubes dans des espaces de dimension n
En généralisant on trouve des problèmes du type (dont j'avais parlé au cours d'histoire l'an dernier) : si une boîte cylindrique à un volume constant V
(contrainte) comment trouver la boîte cylindrique de volume V dont la surface totale soit minimale (optimisation), c'est à dire qui demandera le moins de matériau pour être construite ;
on avait vu qu'on obtenait exactement les dimensions des boites de conserve habituelles pour V = 500cl.
Quelques remarques sur vos réponses
Comme j'ai fait remarquer qu'il fallait se dégager des idées préconçues du genre on cherche deux nombres ou bien les nombres doivent être différents ou encore les nombres doivent être entiers certain.e.s ont proposé :
- d'étendre la question à des nombres négatifs : c'est voué à l'échec parce qu'on peut choisir par exemple -n, -20, n + 40 dont la somme est égale à 20 pour tout entier positif n mais dont le produit est 20n(n+40) qui tend vers l'infini avec n ; donc le maximum du produit est infini (mais c'était bien essayé !)
- et, soyons fous, pourquoi ne pas autoriser des "nombres infinis" ; mais là par contre il faudrait définir ce qu'est un nombre infini (ça existe en fait, de plusieurs manières différentes, mais c'est très abstrait) et je ne vois pas comment s'en sortir dans cette direction - mais peut-être avez vous des idées ?
- notons qu'on peut "jouer" quand même avec l'infini : peur on avoir une infinité de nombres dont la somme est 20 et dont le produit serait maximal. Si on se rappelle la flèche de Zénon - une grand classique du cours de math de l'utl ! - on peut écrire :
10 + 10/2 + 10/4 + 10/8 + ... = 20 si la flèche atteint le mur à 20 mètres.
Mais que vaut le produit infini 10 × 10/2 × 10/4 × ... ?
En fait les théorèmes généraux sur les produits infinis disent que :
- pour qu'un produit infini converge, c'est à dire donne un résultat fini il est nécessaire que la suite des termes qui le compose tende vers 1, ce qui n'est pas le cas ici car cette suite 10, 10/2, 10/4, ... tend vers 0
- plus généralement, même si on trouvait une autre somme infinie égale à 20, ça ne marcherait pas car pour qu'une somme infinie converge (vers 20 ici) il faut que la suite de ses termes tende vers 0, ce qui est incompatible avec le résultat précédent sur les produits infinis
- on n'est pas obligé de se limiter à 2 nombres
- on n'est pas obligé de se limiter à des nombres entiers
N'oubliez pas : "les mathématiques c'est la liberté" [Georg Cantor}
et à bientôt (en fin de semaine) pour les réponses, les explications et ... l'énigme suivante.
Michel
Pour le deuxième une seule personne a donné la valeur maximale (qui est supérieure à 118) mais avec ce que j'ai dit précédemment je pense que vous allez trouver, surtout si je vous indique que rien ne dit qu'on doive se limiter aux nombres entiers !
Plusieurs se sont approchés de la valeur maximale dans le troisième cas ; une petite indication : elle est supérieure à 1550.
Enfin dans les deux derniers cas on peut trouver la valeur maximale exacte sous la forme d'une fraction.
Je donnerai en fin de semaine la réponse complète, avec quelques explications sur le contexte mathématique et physique de cette question. Je donnerai aussi l'énoncé de l'énigme numéro 2. Vous pouvez toujours m'envoyer vos réponses (michel.damiens@gmail.com)